중심극한정리는 큰 수의 법칙 과 함께 통계학의 뼈대를 이룬다고 할 수 있으며, 왜 정규분포 가 중요하게 다뤄지는지 하나의 근거를 제시한다. 대부분의 점근적인 검정들은 CLT를 기반으로 한다. 이 정리의 놀라운 점은, i.i.d. 각 표본은 균일분포이지만, 이 표본이 증가할수록 표본평균은 정규분포를 따르는 것을 볼 수 있습니다.

중심극한정리의 증명은 적률생성함수를 이용합니다. 가정이 성립하고 평균, 표준편차만 알고 있다면 X_i X i 의 분포 자체에 대한 어떤 정보도 없더라도 [2] \xi_n ξn 의 분포를 점근적으로 알 수 있다는 점이다. 증명의 핵심은 표본평균의 적률생성함수가 n이 무한대일 때, 어떤 적률생성함수로 수렴하는지 알아보는 것이죠. 아래 그림은 균일분포 (uniform distribution)로 설명한 중심극한정리 입니다.

중심극한정리의 중요성. 출처 아래 그림은 각 확률분포의 표본이 많아질수록, 표본평균은 정규분포에 근사하는 모습을 보여줍니다. 중심(central)이라는 말은 확률이론의 중심이라고 할 정도로 중요하다는 의미로 붙였다. .
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. ) 중심극한정리는 여러 확률변수의 합이 정규분포와 비슷한 분포를 이루는 현상을 말한다.중심극한정리를 수학적인 용어로 쓰면 다음과 같다.

분포의 비교가 용이해진다. Central Limit Theorem (CLT) 은 통계학에서 가장 중요한 정리 중에 하나입니다. 중심극한정리에서는 모집단이 정규분포를 이루지 않아도 표본의 개수가 충분하다면 정규분포를 이룬다고 가정할 수 있다. 중심극한정리란? 이 정리는 표본평균이 정규분포를 따른다 는 사실을 보여줌으로써 통계추론의 기반이 되기 때문인데요, 즉, 중심극한정리는 표본 평균들의 표본 분포 (Sampling distribution)과 모집단 간의 관계를 설명하는 연결고리가 된답니다.

중심극한정리 (central limit theorem, CLT)는 평균이 m, 분산이 σ2 σ 2 인 임의의 모집단에서 크기가 n인 표본의 평균 ¯X X ¯ 의 분포는 n이 충분히 클 때, 정규분포 N (m, σ2 n) N (m, σ 2 n) 를 근사적으로 따른다는 것이다 [3]. 표본의 크기 n이 일반적으로 30이상이면 충분히 큰 것으로 본다 [4]. 확률론과 통계학에서 중심 극한 정리(中心 極限 定理, 영어: central limit theorem, 약자 CLT)는 동일한 확률분포를 가진 독립 확률 변수 n개의 평균의 분포는 n이 적당히 크다면 정규분포에 가까워진다는 정리이다.

= 표본의 크기 (n)가 충분히 크면, 모집단의 분포 유형에 관계없이 표본평균의 (확률)분포가 정규분포를 따른다는 정리. 또한 모집단이 정규분포를 따르는 경우에는 표본의 크기에 관계없이 표본평균 ¯X X ¯ 는 정규분포 N (m, σ2 n) N (m, σ 2 n) 를 따른다 [4]. 정규 분포라고 하는 이 곡선은 바로 통계 분석에서 가장 중요한 개념 중 하나인 중심 극한 정리를 이해하는 시작점입니다.